אחד השיעורים בלימודי המתמטיקה שלי היה גיאומטריה אנאליטית. המרצה היה יורם לינדנשטראוס, שעוד לא מלאו לו אז שלושים שנים וכבר היה פרופסור. בשנת 1981, בהיותו בן ארבעים וחמש, הוכתר כחתן פרס ישראל במתמטיקה. הוא נפטר ב-2012. אחד הדברים המעטים שאני זוכר מאותו שיעור הוא האנאלוגיה בין קווים לנקודות שלינדנשטראוס הציג בפנינו באמצעות שני היגדים. הראשון אומר כך: "לכל שני קווים ישרים יש נקודה, אחת ורק אחת, המשתייכת לשניהם". והשני אומר: "לכל שתי נקודות יש קו ישר, אחד ורק אחד, שמשתייך לשתיהן". (הביטוי "קו שמשתייך לנקודה" אולי נראה מאולץ, אבל אם תחשבו עליו תראו שהוא לא רק נכון אלא גם מובן).

כפי שרואים, ההיגד השני התקבל על ידי החלפת תפקידים בין הקווים לנקודות. בדרך כלל אם שני עצמים בהיגד כלשהו מתחלפים בתפקידיהם (למשל בתפקידי נושא ומושא) מתקבל היגד חסר משמעות או לא סביר. כדוגמה ניקח את ההיגד "שמעון הזיז את השולחן". אם נחליף תפקידים בין שמעון לשולחן נקבל את ההיגד הלא סביר "השולחן הזיז את שמעון". אבל באנאלוגיה קו-נקודה החלפת התפקידים בין העצמים (קו ונקודה) יצרה היגד בעל משמעות וגם נכון.  

האם יש עוד אנאלוגיות דוגמת זו שהציג לנו פרופ' לינדנשטראוס? הדעת נותנת שיש הרבה; על כל פנים אני מצאתי את האנאלוגיות  הבאות.

מילים ומשפטים. "משמעותו של המשפט נובעת ממשמעותן של המילים". וגם: "משמעותן של המילים נובעת ממשמעותו של המשפט".

זכרים ונקבות. "זכרים זקוקים לנקבות כדי להעמיד צאצאים." וגם: "נקבות זקוקות לזכרים כדי להעמיד צאצאים".

האדם והמציאות. "המציאות מעצבת את האדם"; וגם: "האדם מעצב את המציאות".

ישראל והשבת. "יותר משישראל שמרו את השבת, שמרה השבת את ישראל".

צלילים עולים וצלילים יורדים. אחת הדרכים לתאר נעימה (תיאור חלקי בלבד) היא לציין את העליות והירידות של הצלילים עם התקדמות הנעימה (עליה לצליל גבוה יותר או ירידה לצליל נמוך יותר). למשל, את הנעימה "חמש שנים על מיכאל" אפשר לתאר כך: עליה, עליה, ירידה, עליה, ירידה, ירידה, ירידה, וכן הלאה. באופן כזה אפשר לתאר את נעימת הנושא העיקרית של "אמנות הפוגה" של באך כך: עלייה, ירידה, ירידה, ירידה, עליה, עליה, עליה , וכך הלאה. והנה, בקטע השלישי של היצירה הזאת באך מחליף תפקידים: במקום כל עליה הוא עושה ירידה, ובמקום כל ירידה הוא עושה עלייה. ומתקבלת נעימה אמנם שונה, אבל אנאלוגית לנעימת הנושא העיקרית.

 

ננסה לאבחן את המשותף לאנאלוגיות שהבאנו לעיל.

יש שתי מהויות, נקרא להן מהות א' ומהות ב' (למשל ישראל והשבת) ויש סיטואציה (המבוטאת באמצעות היגד מסוים) שכוללת את שתי המהויות וגם מצביעה על קשר כלשהו ביניהן (למשל "ישראל שמרו את השבת"). ובסיטואציה זו ניתן להציב את מהות א' במקום מהות ב' ואת מהות ב' במקום מהות א', ולקבל סיטואציה אחרת ("השבת שמרה את ישראל"). הסיטואציה האחרת אמנם שונה (ולפעמים אפילו מנוגדת לכאורה) מהסיטואציה הראשונה, אבל בכל זאת יש קשר בין המשמעויות של שתי הסיטואציות. באופן כזה קיבלנו למעשה שתי אנאלוגיות שכרוכות אחת בשנייה: אנאלוגיה בין שתי המהויות א' ו-ב', ואנאלוגיה בין שתי הסיטואציות. ומכיוון שתמצית עניינן של אנאלוגיות כאלה היא שימור המשמעותיוּת, אפשר לקרוא להן אנאלוגיות סמנטיות.

יש משהו יפה באנאלוגיות הסמנטיות. כל אחת מהן מצביעה על סימטריה מסוימת בין שתי המהויות שלה, והיא אפשרית רק אם יש קשר משמעות עמוק בין שתיהן; קשר שאינו מצומצם להיגד או לסיטואציה אלה או אחרים, אלא קיים מתוך עצם מהותן של שתי המהויות.

 

(The Pilgrim, 1966 by Rene Magritte)

מודעות פרסומת

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת גוגל

אתה מגיב באמצעות חשבון Google שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

מתחבר ל-%s